Halo semuanya! Apakah kamu sudah familiar dengan konsep relasi dalam matematika? Jika belum, jangan khawatir, kali ini kita akan membahas tentang pengertian dan cara menyajikan relasi dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang relasi, jenis-jenis relasi, cara menyajikan relasi menggunakan diagram, dan contoh soal tentang relasi. Yuk, simak penjelasannya di bawah ini!
Pengertian Relasi dalam Matematika
Relasi adalah hubungan antara dua buah objek atau himpunan. Misalkan jika ada dua himpunan A dan B, maka relasi R dari A ke B adalah kumpulan pasangan terurut (a,b), di mana a berasal dari A dan b berasal dari B. Contohnya, jika A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5, 6}, maka R = {(1,4), (1,5), (2,4), (2,6), (3,5)}. Dalam contoh tersebut, hubungan antara angka 1 dan 4 adalah satu relasi dalam himpunan A ke B.
Relasi juga dapat diartikan sebagai suatu aturan atau kriteria yang digunakan untuk menentukan apakah dua elemen dalam dua himpunan berhubungan atau tidak. Dalam hal ini, elemen-elemen tersebut dapat berupa angka, kata, atau objek lainnya.
Contohnya, jika kita memiliki himpunan mahasiswa dan mata kuliah, relasi antara mahasiswa dan mata kuliah dapat dinyatakan melalui kriteria “mahasiswa tersebut mengambil mata kuliah tertentu”. Dalam hal ini, jika ada mahasiswa A yang mengambil mata kuliah B, maka A dan B memiliki relasi.
Relasi juga dapat dibuat dengan menggunakan simbol matematika seperti tanda sama dengan (=) dan lebih besar dari (>). Selain itu, terdapat pula simbol matematika lain yang dapat digunakan untuk menyatakan relasi seperti simbol tidak sama dengan (≠) dan kurang dari atau sama dengan (≤).
Dalam relasi juga terdapat istilah seperti domain dan kodomain. Domain adalah himpunan asal yang terdiri atas elemen-elemen yang dihubungkan dengan kodomain, sedangkan kodomain adalah himpunan tujuan yang terdiri atas semua elemen yang dihubungkan.
Tabel Domain dan Kodomain
| Relasi | Domain | Kodomain |
|---|---|---|
| {(1,4), (1,5), (2,4), (2,6), (3,5)} | {1, 2, 3} | {4, 5, 6} |
Jenis-Jenis Relasi dalam Matematika
Relasi dalam matematika dibedakan menjadi beberapa jenis, yaitu sebagai berikut:
1. Relasi Simetri
Relasi simetri adalah relasi yang memenuhi syarat jika (a,b) memiliki relasi, maka (b,a) juga memiliki relasi. Contohnya, jika ada dua orang yang merupakan teman satu sama lain, maka hubungan mereka adalah relasi simetri.
2. Relasi Refleksif
Relasi refleksif adalah relasi yang memenuhi syarat jika setiap elemen pada himpunan asal memiliki relasi dengan dirinya sendiri. Contohnya, relasi “sama dengan” pada himpunan bilangan bulat merupakan contoh dari relasi refleksif.
3. Relasi Transitif
Relasi transitif adalah relasi yang memenuhi syarat jika (a,b) dan (b,c) memiliki relasi, maka (a,c) juga memiliki relasi. Contohnya, jika ada tiga orang bernama A, B, dan C, dan A berteman dengan B serta B berteman dengan C, maka A dan C memiliki relasi sebagai teman.
4. Relasi Antisimetri
Relasi antisimetri adalah relasi yang memenuhi syarat jika (a,b) dan (b,a) memiliki relasi, maka a sama dengan b. Contohnya, relasi “lebih kecil dari atau sama dengan” pada himpunan bilangan bulat merupakan contoh dari relasi antisimetri.
Cara Menyajikan Relasi Menggunakan Diagram
Salah satu cara untuk menyajikan relasi adalah dengan menggunakan diagram. Diagram yang biasa digunakan untuk menyajikan relasi adalah diagram panah (arrow diagram) dan diagram lingkaran (circle diagram).
1. Diagram Panah
Diagram panah digunakan untuk menyatakan relasi antara dua himpunan. Setiap elemen dalam himpunan asal direpresentasikan dengan panah ke elemen dalam himpunan tujuan yang terhubung dengan relasi tersebut.
Contohnya, jika kita memiliki himpunan A = {x, y, z} dan himpunan B = {3, 6, 9}, maka relasi R dari A ke B dapat dinyatakan dengan diagram panah seperti berikut:
2. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran digunakan untuk menyatakan relasi pada satu himpunan. Setiap elemen dalam himpunan direpresentasikan oleh lingkaran, dan relasi antar elemen direpresentasikan oleh tumpukan lingkaran.
Contohnya, jika kita memiliki himpunan {1, 2, 3, 4, 5} dan relasi “lebih besar dari” pada himpunan tersebut, maka diagram lingkaran dari relasi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
Contoh Soal tentang Relasi
Untuk lebih memahami pengertian dan cara menyajikan relasi dalam matematika, berikut ini adalah beberapa contoh soal mengenai relasi:
1. Misalkan terdapat himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {a, b, c, d}. Jika relasi R dari A ke B dinyatakan oleh {(1,a), (2,c), (3,b), (4,d)}, maka jelaskan domain dan kodomain dari relasi R!
Domain dari relasi R adalah himpunan A = {1, 2, 3, 4}, sedangkan kodomain dari relasi R adalah himpunan B = {a, b, c, d}.
2. Diberikan himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {x, y}. Tentukan relasi dari A ke B yang memenuhi sifat refleksif!
Relasi yang memenuhi sifat refleksif adalah relasi {(1,x), (2,y), (3,x)}.
3. Diberikan himpunan A = {a, b, c} dan relasi R = {(a,b), (b,c)}. Tuliskan relasi transitif dari R!
Karena (a,b) dan (b,c) memiliki relasi, maka (a,c) juga memiliki relasi. Oleh karena itu, relasi transitif dari R adalah {(a,c)}.
FAQ
1. Apa yang dimaksud dengan relasi dalam matematika?
Relasi dalam matematika adalah hubungan antara dua buah objek atau himpunan.
2. Apa itu relasi simetri?
Relasi simetri adalah relasi yang memenuhi syarat jika (a,b) memiliki relasi, maka (b,a) juga memiliki relasi.
3. Bagaimana cara menyajikan relasi menggunakan diagram?
Relasi dapat disajikan dengan menggunakan diagram panah atau diagram lingkaran.
4. Apa itu domain dan kodomain dalam relasi?
Domain adalah himpunan asal yang terdiri atas elemen-elemen yang dihubungkan dengan kodomain, sedangkan kodomain adalah himpunan tujuan yang terdiri atas semua elemen yang dihubungkan.
5. Apa itu relasi refleksif?
Relasi refleksif adalah relasi yang memenuhi syarat jika setiap elemen pada himpunan asal memiliki relasi dengan dirinya sendiri.